Tendenza centrale: significato, usi e misure
Tendenza centrale: significato, usi e misure!
Significato della tendenza centrale:
Le misure di tendenza centrale sono una combinazione di due parole, ad esempio "misura" e "tendenza centrale". Misura significa metodi e tendenza centrale significa valore medio di qualsiasi serie statistica. Quindi possiamo dire che la tendenza centrale indica i metodi per scoprire il valore centrale o il valore medio di una serie statistica di informazioni quantitative.
JP Guilford ha sottolineato che "una media è un valore centrale di un gruppo di osservazioni o individui".
Secondo Clark "La media è un tentativo di trovare una singola figura per descrivere l'intera figura".
Nelle parole di AE Waugh "Una media è un singolo valore selezionato da un gruppo di valori per rappresentarli allo stesso modo - un valore che dovrebbe rappresentare un intero gruppo di cui fa parte, come tipico di tutti i valori nel gruppo."
Quindi si può dire che una tendenza media o centrale è una singola figura calcolata da una data distribuzione per dare un'idea centrale dell'intera serie. Il valore della media si trova all'interno del valore massimo e minimo della serie.
Usi della tendenza centrale:
La tendenza centrale è necessaria per i seguenti motivi:
1. La media fornisce l'immagine complessiva della serie. Non possiamo ricordare ogni singolo fatto relativo ad un campo di indagine.
2. Il valore medio fornisce un quadro chiaro del campo in esame per l'orientamento e la conclusione necessaria.
3. Fornisce una descrizione concisa delle prestazioni del gruppo nel suo complesso e ci consente di confrontare due o più gruppi in termini di prestazioni tipiche.
Misure di tendenza centrale:
Ci sono tre misure di tendenza centrale, come:
(1) La media aritmetica.
(2) La mediana e
(3) La modalità.
(1) The Mean (M):
Per un uomo comune, media significa la media aritmetica. È più comunemente usato per la sua semplicità, rigidità ecc.
Una media aritmetica è definita come il "quoziente ottenuto dividendo il totale dei valori di una variabile per il numero totale di osservazioni o articoli".
II.E. Garett (1985 P) definisce "La media aritmetica o più semplicemente la media è la somma dei punteggi o delle misure separati divisi per il loro numero".
Metodi di calcolo medio:
Esistono diversi metodi per calcolare la media. Ma qui discuteremo solo di due metodi.
Sono come segue:
1. Metodo diretto o metodo lungo.
2. Metodo corto o metodo medio supposto.
1. Metodo diretto o metodo lungo:
In questo metodo la media viene calcolata direttamente dalla serie indicata. In questo metodo possiamo calcolare la media dai dati non raggruppati e la formula per calcolare la media dai dati non raggruppati.
La formula per calcolare la media da dati non raggruppati è:
Dai dati raggruppati la media è calcolata con la seguente formula:
Illustrazione:
Calcola la media dalle seguenti distribuzioni di frequenza per metodo diretto:
2. Metodo corto o metodo medio presunto:
È noto come metodo medio ipotizzato perché, invece di calcolare la media dai punti mediani, assumiamo il significato medio per scoprire la media. Per prima cosa "supponiamo" o assumiamo una media e quindi applichiamo una correzione a questo valore assunto per trovare il valore esatto.
La formula per scoprire la media nel metodo medio assunto è riportata di seguito:
Di seguito vengono descritti i passaggi per calcolare la media nel metodo breve:
Passo 1:
Assumi un qualsiasi punto medio della distribuzione come media. Ma il piano migliore è prendere il punto centrale di un intervallo vicino al centro che ha la frequenza maggiore.
Passo 2:
Scopri la x 'colonna, x' è la deviazione tra il punteggio e la media assunta.
Qui possiamo scoprire x 'usando la seguente formula:
Passo-3:
Scopri la colonna fx . Viene scoperto moltiplicando la colonna f per x 'colonna.
Step-4:
Scopri Σ f x. Aggiungi tutti i valori positivi e i valori negativi separatamente. Quindi scopri la somma algebrica che è Σ f x.
Step-5:
Scopri la media usando la formula 9.4.
Illustrazione:
Scopri la media della distribuzione nel metodo medio ipotizzato.
In una prova di matematica i voti dei 50 studenti sono stati presentati nella seguente distribuzione:
Qui abbiamo preso 44.5 il punto medio di Ci 40-49 come media assunta. Ora possiamo scoprire la media usando la formula 8.4.
Media combinata:
I mezzi separati di un certo numero di serie diverse possono produrre la media aritmetica combinata di tutte le diverse serie quando viene dato il numero di elementi in ciascuna di tali serie. Questo viene calcolato dalla seguente formula quando il numero di gruppi è n.
Illustrazione:
Di seguito sono riportati i media di studenti di classe VI di 4 scuole. Qual è la media degli studenti delle classi VI in generale.
Possiamo scoprire la media combinata applicando la formula 9.5:
Quindi la media di tutti gli studenti della VI classe è 55.25.
Usi della media:
Ci sono alcune regole generali per l'uso della media. Alcuni di questi usi sono i seguenti:
1. Media è il centro di gravità nella distribuzione e ogni punteggio contribuisce alla determinazione di esso quando la diffusione dei punteggi è simmetricamente attorno a un punto centrale.
2. La media è più stabile della mediana e della modalità. In questo modo, quando viene utilizzata la misura della tendenza centrale con la massima stabilità, viene utilizzato il significato.
3. La media è usata per calcolare altre statistiche come SD, coefficiente di correlazione, ANOVA, ANCOVA ecc.
Merito della media:
1. Il significato è rigidamente definito in modo che non vi siano dubbi sull'incomprensione del suo significato e della sua natura.
2. È la tendenza centrale più popolare in quanto è facile da capire.
3. È facile da calcolare.
4. Include tutti i punteggi di una distribuzione.
5. Non è influenzato dal campionamento in modo che il risultato sia affidabile.
6. La media è in grado di effettuare ulteriori trattamenti algebrici in modo che altre statistiche come la dispersione, la correlazione, l'inclinazione richiedano una media per il calcolo.
Demeriti della media:
1. La media è influenzata da punteggi estremi.
2. A volte la media è un valore che non è presente nella serie.
3. A volte dà valori assurdi. Per esempio ci sono 41, 44 e 42 studenti nelle classi VIII, IX e X di una scuola. Quindi gli studenti medi per classe sono 42.33. Non è mai possibile
4. In caso di intervalli di classe aperti, non può essere calcolato senza assumere la dimensione delle classi finali aperte.
(2) Mediana:
La mediana è un'altra misura di tendenza centrale. È una media posizionale perché il suo valore è determinato con riferimento alla sua posizione nella colonna del valore di una serie. Nel Dizionario delle statistiche Collins, è definito come "il valore medio in una distribuzione, al di sotto e al di sopra del quale si trovano valori con frequenze o probabilità totali uguali".
D. Patri (1996) definisce la mediana "come il valore dell'oggetto centrale di una serie disposto in ordine ascendente o discendente. In quanto tale, divide una serie in due parti uguali. "
La mediana può essere definita come un punto della distribuzione al di sotto del quale il cinquanta per cento dei casi e al di sopra del quale si trovano i casi del cinquanta per cento.
Calcolo della mediana dai dati non raggruppati:
In caso di dati non raggruppati i punteggi sono disposti in ordine di grandezza. Quindi viene scoperto il punto medio, che è la mediana. In questo processo sorgono due situazioni nel calcolo della mediana, (a) N è dispari (b) N è ancora Primo, discuteremo come calcolare la mediana (Mdn) quando N è dispari.
Illustrazione:
In una classe 9 gli studenti si sono assicurati i seguenti voti in un test di vocabolario. Scopri la mediana.
Marks-6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
Nei dati non raggruppati
Vediamo come calcolare Mdn quando N è pari.
Illustrazione:
Calcola il Mdn dei seguenti dati di 10 studenti di un test di ortografia in inglese.
Segni = 7, 6, 8, 12, 7, 9, 11, 10, 13, 14
Per risolvere il problema dobbiamo organizzarci in ordine di grandezza
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Ora applicando la formula 8.6 otteniamo;
Calcolo della mediana dai dati raggruppati:
Sappiamo che la mediana è un punto che distribuisce la distribuzione in due metà uguali.
La formula per trovare la mediana dai dati raggruppati si legge come segue:
Dove L = limite inferiore della classe mediana.
La classe media è quella classe la cui frequenza cumulativa è maggiore del valore di N / 2 cioè N / 2> cf (frequenza cumulativa)
N / 2 = Metà del numero totale di punteggi.
F = Frequenza cumulativa della classe interna al di sotto della classe mediana.
fm = Frequenza della classe mediana.
i = Dimensione degli interni della classe.
Passi per calcolare mdn da dati raggruppati:
Passo 1.
Calcola N / 2 ovvero il 50% della distribuzione.
Passo 2:
Calcola la frequenza cumulativa della distribuzione dall'estremità inferiore.
Passo-3:
Scopri la classe MDN. La frequenza cumulativa dell'intervallo di classe in cui N / 2> cf
Step-4:
Scopri F la frequenza cumulativa sotto la classe MDN.
Step-5:
Scopri f m . e metti tutti i valori in formula.
Illustrazione:
Scopri la mediana della distribuzione.
Di seguito vengono indicati i punteggi di 40 studenti in una prova di matematica:
L = 59, 5. Perché il N / 2 cioè 20 è incluso nella frequenza cumulativa dell'intervallo di classe 60-61, e i limiti esatti del Ci = 59, 5-61, 5.
F = 17. La frequenza cumulativa sotto la classe mdn.
fm = 7. La frequenza esatta della classe mdn.
i = 2. Dimensione dell'intervallo di classe.
Ora inserendo il valore nella formula
MDN della distribuzione è 60, 63.
Mdn può anche essere calcolato dal limite superiore della distribuzione. La formula per scoprire mdn prendendo i limiti superiori si legge così.
Dove U = Il limite superiore della classe Mdn.
F 1 = La frequenza cumulativa dell'intervallo di classe sopra la classe Mdn.
fm = Frequenza della classe mediana.
i = Dimensione dell'intervallo di classe.
passi:
Nel caso di calcolare Mdn dal limite superiore, l'unica differenza è che dobbiamo calcolare la frequenza cumulativa dall'estremità superiore.
Illustrazione:
U = 61, 5. Perché la frequenza cumulativa 23 include il N / 2 cioè 20.
F = 16. Frequenza cumulativa dell'intervallo di classe sopra la classe Mdn.
fm = 7 frequenza della classe mediana.
i = 2
Il Mdn è 60, 36.
Ci sono anche alcuni casi eccezionali di mediana informatica. Questi sono quando la distribuzione di frequenza contiene spazi e quando gli intervalli di classe sono aperti. Prima di tutto discuteremo di eventuali lacune nella distribuzione delle frequenze.
Quando ci sono frequenze 0 consecutive sugli intervalli di classe in cui si trova Mdn, sorge la difficoltà di scoprire la classe Mdn. In questo caso aggiungiamo gli intervalli di frequenza 0 agli intervalli di classe sopra e sotto.
La seguente illustrazione spiega chiaramente il processo:
Illustrazione:
Scopri il Mdn delle seguenti serie:
L = 49, 5. Il limite inferiore di Ci in cui Ci è maggiore di N / 2.
F = 4 Cf del Ci sotto la classe Mdn
f m = 2. La frequenza della classe Mdn.
i = 10. Dimensioni del Ci
Inserimento dei valori nella formula 8.7.
Quindi il Mdn della distribuzione è 57.
La seconda situazione è che, quando ci sono intervalli di classe aperti in entrambe le estremità. In questo caso le estremità aperte possono essere mantenute aperte o convertite in classi specifiche. Di seguito un'illustrazione.
Illustrazione:
30 studenti si sono assicurati i seguenti voti in una prova di matematica. 4 studenti si sono assicurati al di sotto di 10 punti. 6 studenti hanno ottenuto voti da 10 a 20, 10 studenti tra 20-30, 8 studenti tra i 30 e i 40, 7 studenti tra i 40 e i 50 e 3 studenti sopra i 50 anni. Scopri il Mdn.
L = 19, 5. Limite inferiore della classe Mdn, ovvero 20-30.
F = 10. Cf del Ci sotto la classe Mdn.
fm = 10
i = 10
Quindi Mdn della distribuzione è 28.5.
Usi della mediana:
1. La mediana viene utilizzata quando è necessario il punto medio esatto della distribuzione o si desidera il punto del 50%.
2. Quando i punteggi estremi influenzano la media in quel momento la mediana è la migliore misura della tendenza centrale.
3. La mediana viene usata quando è richiesto che determinati punteggi influenzino la tendenza centrale, ma tutto ciò che si sa su di loro è che sono sopra o sotto la mediana.
4. Median viene utilizzato quando le classi sono aperte o è di dimensioni uguali alle celle.
Meriti della mediana:
1. È facile da calcolare e capire.
2. Tutte le osservazioni non sono richieste per il calcolo.
3. I punteggi estremi non influenzano la mediana.
4. Può essere determinato da serie aperte.
5. Può essere determinato da intervalli di classe non uguali.
Demeriti della mediana:
1. Non è definito rigidamente come media perché il suo valore non può essere calcolato ma localizzato.
2. Non include tutte le osservazioni.
3. Non può essere ulteriormente trattato algebricamente come cattivo.
4. Richiede la disposizione dei punteggi o degli intervalli di classe in ordine ascendente o discendente.
5. A volte produce un valore che non si trova nella serie.
(3) Modalità:
La modalità è i punteggi più frequenti in una distribuzione. In media rappresenta il valore più tipico di una serie che quasi coincide con gli articoli esistenti. Non è mai influenzato da punteggi estremi ma dalle frequenze estreme dei valori. Per determinare la modalità ci sono diversi metodi.
Alcuni dei metodi importanti sono discussi di seguito:
Metodi per determinare la modalità:
1. Metodo di ispezione
2. Metodo di raggruppamento
3. Metodo di relazione empirica
1. Metodo di ispezione:
In questo metodo la modalità è determinata solo dall'osservazione. Qui la modalità è determinata osservando il punteggio più frequente o l'intervallo di classe contro il quale la frequenza massima è considerata come la classe modale. Quando due di tali valori o intervalli di lezioni hanno la stessa frequenza o frequenza, sia i punteggi che gli intervalli di classe sono considerati come modalità. " E la distribuzione è chiamata come una distribuzione bidimensionale. Se ci sono più di due di questi valori o intervalli di classe, allora è alleato come una distribuzione multimodale.
2. Metodo di raggruppamento:
Quando la differenza di valore tra la frequenza più alta e la frequenza più alta successiva è molto bassa in quel momento, non è sicuro determinare la modalità nel metodo di ispezione. In tali casi dubbi sono stati utilizzati il metodo di raggruppamento.
In questo metodo viene preparato prima un tavolo di raggruppamento o una dichiarazione di raggruppamento delle frequenze. In questa istruzione inserisci i valori o le classi di valori nella colonna di sinistra e le loro frequenze corrispondenti nella colonna successiva. Nella colonna successiva (2) raggruppa le frequenze in due a partire dalla prima frequenza. Quindi nella terza colonna raggruppa le frequenze in due a partire dalla seconda frequenza. Nella colonna successiva raggruppa le frequenze in tre a partire dalla 1a frequenza.
Nella colonna successiva raggruppa le frequenze in tre a partire dalla seconda frequenza. Nell'ultima colonna raggruppa le frequenze in tre a partire dalla 3a frequenza. Una volta terminato il raggruppamento, identifica la / e figura / i massima / e di ciascuna delle 6 colonne mettendo un cerchio.
Il passo successivo è preparare una tabella di analisi per individuare il valore modale o la classe modale. In questa tabella i valori modali probabili sono presentati nella linea orizzontale superiore sotto le diverse colonne e i diversi numeri di colonna saranno posti nella parte sinistra della tabella.
I valori che mostrano le frequenze massime raggruppate nella tabella di raggruppamento saranno identificati da un segno rispetto alla rispettiva colonna. Il numero di tali contrassegni posti sotto le colonne del probabile valore verrà sommato alla fine di questa tabella. Il valore probabile che mostra il massimo di tale totale sarà identificato come il valore modale che può essere la classe modale.
La seguente illustrazione fornirà una migliore comprensione:
Illustrazione:
La tabella di analisi sopra mostra che attorno al punteggio 60, i cluster massimi cioè il totale 4. Quindi qui 60 è il valore modale.
Quando i dati sono nella serie continua, possiamo calcolare la modalità applicando la seguente formula:
Dove M 0 = Modalità
L 0 = limite inferiore della classe modale
f 2 = frequenza della classe modale successiva alla classe.
f 0 = frequenza della classe precedente alla classe modale.
i = Dimensione dell'intervallo di classe.
Illustrazione:
Dai seguenti dati determinare la modalità:
Soluzione:
Qui l'intervallo di classe 20-25 contiene la frequenza più alta. In modo che possa essere considerato come la classe modale
Qui:
3. Metodo di relazione empirica:
Questo è il metodo più efficace per determinare la modalità. Il professor Karl Pearson ha previsto questo metodo. Il professor Pearson ha scoperto che in una serie moderatamente asimmetrica o distorta esiste una relazione pertinente tra media, mediana e modalità. In tali serie la distanza tra media e mediana è 1/3 della distanza tra media e modo.
Illustrazione:
Scopri la modalità dalla distribuzione di cui sopra.
Soluzione:
La media della distribuzione è 25, 94
La mediana della distribuzione è 23, 83
M 0 = 3 Media della mediana 2
M 0 = 3 X 23, 83-2 x 25, 94
= 71, 49-51, 88
= 19, 61 (circa)
Usi della modalità:
La modalità è utilizzata:
(i) Quando vogliamo una misura rapida e approssimativa della tendenza centrale.
(ii) Quando vogliamo una misura della tendenza centrale che dovrebbe essere un valore tipico. Ad esempio, quando vogliamo conoscere lo stile tipico delle donne indiane, ovvero lo stile di abbigliamento più popolare. In questo modo i voti medi di una classe sono chiamati segni modali.
Meriti della modalità:
1. La modalità fornisce il valore più rappresentativo di una serie.
2. La modalità non è influenzata da punteggi estremi come la media.
3. Può essere determinato da un intervallo di classe aperto.
4. Aiuta ad analizzare i dati qualitativi.
5. La modalità può anche essere determinata graficamente attraverso l'istogramma o il poligono di frequenza.
6. La modalità è facile da capire.
demeriti:
1. La modalità non è definita rigidamente come media. In alcuni casi può dare risultati diversi.
2. Non include tutte le osservazioni di una distribuzione ma sulla concentrazione delle frequenze degli oggetti.
3. Un ulteriore trattamento algebrico non può essere eseguito con modalità come media.
4. Nei casi multimodali e bimodali è difficile da determinare.
5. La modalità non può essere determinata da intervalli di classe diversi.
6. Esistono diversi metodi e diverse formule che producono risultati diversi della modalità e pertanto viene giustamente considerata la media più mal definita.
