Il teorema di Eulero e il problema dell'esaurimento del prodotto

Il teorema di Eulero e il problema dell'esaurimento del prodotto!

Non appena è stato proposto che i fattori di produzione siano pagati in modo uguale ai loro prodotti marginali, è sorto un problema difficile sul quale si è avuto un serio dibattito tra i famosi economisti. Il problema difficile che è stato posto è che se tutti i fattori fossero pagati premi pari ai loro prodotti marginali, il prodotto totale sarebbe esattamente esaurito?

In altre parole, se ogni fattore è ricompensato uguale al suo prodotto marginale, il prodotto totale dovrebbe essere smaltito senza eccedenze o deficit. Il problema di dimostrare che la produzione totale sarà appena esaurita se tutti i fattori sono pagati premi pari ai loro prodotti marginali è stato chiamato "Problema di Aggiunta" o Problema di esaurimento del Prodotto.

Le due soluzioni al problema dell'esaurimento del prodotto sono state avanzate. In primo luogo, la soluzione importante è stata avanzata da PH Wicksteed che ha assunto l'operazione di rendimenti costanti su scala produttiva (vale a dire la funzione di produzione omogenea di primo grado) e ha applicato la teoria di Eulero per dimostrare il problema dell'esaurimento del prodotto.

La seconda soluzione importante è stata fornita da JR Hicks e RA. Samuleson che ha utilizzato un modello di competizione perfetto per determinare i prezzi dei prodotti e dei fattori per dimostrare il problema dell'esaurimento del prodotto. Discutiamo di seguito queste soluzioni del problema dell'esaurimento del prodotto.

La soluzione di Wicksteed del problema dell'esaurimento del prodotto con il teorema di Eulero:

Philip Wicksteed è stato uno dei primi economisti che ha posto questo problema e fornito una soluzione per questo. Wicksteed ha applicato una proposizione matematica chiamata Teorema di Eulero per dimostrare che il prodotto totale sarà appena esaurito se tutti i fattori saranno pagati in modo uguale ai loro prodotti marginali.

Sia Q l'output totale del prodotto, il valore per il fattore di lavoro e b il fattore di capitale e c sta per terra. Supponendo che ci siano solo tre fattori impiegati per la produzione. Quindi, il problema di sommare implica che,

Q = MP _a xa + MP _a X b + MP _c xc

Cioè, il prodotto marginale del fattore a moltiplicato per la quantità di fattore a più il prodotto marginale del fattore b moltiplicato per la quantità di fattore b più il prodotto marginale del fattore c moltiplicato per la quantità di fattore c equivale al prodotto totale del fattore ferma. I prodotti marginali di vari fattori possono essere espressi come derivati ​​parziali. Quindi, il prodotto marginale del lavoro (cioè il fattore a) può essere espresso come ∂W / ∂a, e il prodotto marginale del capitale (fattore b) come ∂W / ∂b, e il prodotto marginale del terreno (fattore c) come ∂W / ∂c, quindi per il problema di aggiunta (ad es. Problema di esaurimento del prodotto) da soddisfare, la seguente equazione deve essere valida:

Ora, il Teorema di Eulero afferma che se la funzione di produzione è una funzione omogenea di primo grado, cioè, se in Q = f (a, b, c) per ogni aumento delle variabili a, bec dall'importo n, il l'output Q aumenta anche di n, quindi Q sarà uguale alla somma totale delle derivate parziali della funzione di produzione rispetto a vari fattori moltiplicati per le quantità dei fattori rispettivamente.

La funzione omogenea del primo grado o funzione lineare omogenea è scritta nella seguente forma:

nQ = f (na, nb, nc)

Ora, secondo il teorema di Eulero, per questa funzione lineare omogenea:

Quindi, se la funzione di produzione è omogenea di primo grado, allora secondo il teorema di Eulero il prodotto totale è:

Dove Q rappresenta il prodotto totale e ∂W / ∂a, ∂W / ∂b, ∂W / ∂c sono derivati ​​parziali della funzione di produzione e quindi rappresentano rispettivamente i prodotti marginali di lavoro, capitale e terra. Ne consegue quindi che se la funzione di produzione è omogenea di primo grado (cioè, dove ci sono rendimenti di scala costanti), allora, secondo il Teorema di Eulero, se i vari fattori a, bec sono pagati premi pari ai loro prodotti marginali, il prodotto totale sarà solo esaurito, senza surplus o deficit.

Vediamo quindi che il Teorema di Eulero è in grado di spiegare l'esaurimento del prodotto quando la funzione di produzione è omogenea di primo grado. In questo modo, Wicksteed assumendo rendimenti di scala costanti e applicando il Teorema di Eulero, ha dimostrato il problema di aggiunta, cioè ha dimostrato che se tutti i fattori sono stati pagati uguali ai loro prodotti marginali, il prodotto totale sarà esattamente esaurito.

Una critica del teorema di Eulero e la soluzione di Wicksteed:

La soluzione di Wicksteed fu criticata da Walras, Barone, Edgeworth e Pareto. È stato affermato da questi scrittori che la funzione di produzione non era omogenea di primo grado, cioè; i rendimenti in scala non sono costanti nel mondo reale. Così Edgeworth commentò satiricamente la soluzione di Wicksteed, "C'è magnificenza in questa generalizzazione che richiama la gioventù della filosofia. La giustizia è un cubo perfetto, disse l'antico saggio; e la condotta razionale è una funzione omogenea, aggiunge il moderno savant ".

I critici hanno sottolineato che la funzione di produzione è tale da produrre una curva di costo medio di lungo periodo a forma di U. La forma a U della curva dei costi medi di lungo periodo implica che fino a un certo punto aumentano i ritorni di scala e dopo di essa si ottengono rendimenti di scala decrescenti.

Nel caso in cui un'impresa stia ancora lavorando con rendimenti crescenti, allora se tutti i fattori sono pagati pari ai loro prodotti marginali, i premi totali dei fattori supererebbero il prodotto totale. D'altra parte, se un'impresa sta lavorando con rendimenti decrescenti su scala, e se tutti i fattori sono pagati pari ai loro prodotti marginali, i benefici totali dei fattori non esaurirebbero completamente il prodotto totale e lasceranno quindi un surplus. Ne consegue che il Teorema di Eulero non si applica e quindi il problema dell'aggiunta non regge quando ci sono rendimenti crescenti in scala o rendimenti di scala decrescenti.

Un altro inconveniente messo in evidenza nella soluzione di Wicksteed è che quando ci sono rendimenti di scala costanti, la curva di costo medio a lungo termine dell'azienda è una linea retta orizzontale che è incompatibile con la concorrenza perfetta. (Sotto la curva di costo medio di lungo periodo orizzontale, l'impresa non può avere una determinata posizione di equilibrio). Ma la concorrenza perfetta era essenziale per la teoria della produttività marginale e quindi per la soluzione di Wicksteed. Quindi la soluzione Wicksteed ci porta a due cose contraddittorie.

Wicksell, Walras e Barone Soluzione di esaurimento della produzione Problema:

Dopo Wicksteed, Wicksell, Walras e Barone, ciascuno indipendente, ha avanzato una soluzione più soddisfacente al problema che i premi dei fattori marginalmente determinati esaurirebbero il prodotto totale. Questi autori presumevano che la tipica funzione di produzione non fosse omogenea di primo grado, ma fosse tale da produrre una curva di costo medio di lungo periodo a forma di U.

Hanno sottolineato che nel lungo periodo in condizioni di concorrenza perfetta l'impresa era in equilibrio al punto minimo della curva dei costi medi di lungo periodo. Al punto minimo della curva di costo medio di lungo periodo, i ritorni a sca sono momentaneamente costanti, cioè i rendimenti in scala sono costanti all'interno della gamma di piccole variazioni dell'output.

Pertanto, la condizione richiesta per i premi marginalmente determinati di esaurire il prodotto totale, ovvero l'operazione di rendimenti di scala costanti, è stata soddisfatta al punto minimo della curva di costo medio di lungo periodo, in cui un'impresa perfettamente competitiva è a lungo termine equilibrio. Pertanto, nel caso di un equilibrio perfettamente a lungo termine, si può applicare il Teorema di Eulero e, se i fattori sono pagati in base ai loro prodotti marginali, il prodotto totale sarebbe esattamente esaurito.

La soluzione di Hicks-Samuelson al problema dell'esaurimento del prodotto :

Dopo Wicksell, Walras e Barone, JR Hicks e PA Samuelson hanno fornito una soluzione più soddisfacente al problema del problema dell'esaurimento del prodotto. Il punto fondamentale da notare nella loro soluzione è che sono le condizioni di mercato della concorrenza perfetta con la sua caratteristica importante di zero profitti economici a lungo termine e non la funzione di produzione omogenea di primo grado che assicura che se i fattori vengono pagati premi pari al loro prodotti marginali, il valore totale del prodotto sarebbe appena esaurito.

In una struttura di mercato perfettamente competitiva, le imprese non producono né profitto economico né perdite. Pertanto, la soluzione del problema dell'esaurimento del prodotto nel caso in cui le imprese operino in mercati di fattori competitivi in ​​cui i fattori siano pagati in modo uguale ai loro prodotti marginali, l'esistenza di una concorrenza perfetta nei mercati del prodotto garantirà zero profitti economici nel lungo periodo. Si consideri la Figura 32.15 in cui un'impresa perfettamente competitiva è in equilibrio di lungo periodo nel punto minimo della curva di costo medio di lungo periodo LAC producendo il livello di output OQ a prezzo OP.

Il valore totale prodotto prodotto dall'azienda in questo equilibrio di lungo periodo è pari all'area OPEQ. Dato che il prezzo OP è uguale al costo medio (AC) a questa produzione di equilibrio di lungo periodo con zero profitti puri, il prodotto del valore totale (PQ) sarà uguale al costo totale (TC). così

Nell'equilibrio competitivo di lungo periodo:

Total Value Product (PQ) = w.L + Kr ... (1)

Ora la teoria della distribuzione marginale della produttività lo richiede

w = VMP _L = P.MPP _L ... (2)

r = VMP _K = P. MPP _K ... (3)

Dove w e r sono rispettivamente prezzi di lavoro e capitale e MPP _L e MPP _K sono rispettivamente prodotti fisici marginali di lavoro e capitale e P è il prezzo del prodotto.

Sostituendo i valori di w e r nell'equazione (1) che abbiamo

PQ = L. (P. MPP _L ) + K. (P. MPP _K )

Dividendo entrambi i lati da P abbiamo

Q = L.MPP _L + K. MPP _K

Cioè, se il lavoro e il capitale sono pagati pari ai loro prodotti fisici marginali, la produzione totale sarà solo esaurita.

È importante notare che, a differenza delle soluzioni di Wicksteed e Wicksell, Walras e Barone, la soluzione fornita da Hicks e Samuelson dimostra il teorema dell'esaurimento del prodotto senza presupporre ritorni su scala costanti (ad es. Funzione di produzione omogenea di primo grado) e senza usare il teorema di Eulero. Lo dimostrano semplicemente assumendo condizioni di perfetta struttura del mercato.

Il merito della soluzione Hicks-Samuleson è che evidenzia quando le condizioni di perfetto mercato competitivo non reggono, cioè quando c'è il monopolio o la concorrenza imperfetta nel mercato del prodotto o la monopsoneria o la concorrenza imperfetta nel mercato dei fattori, i fattori assunti non ottengono premi pari al valore dei loro prodotti marginali e sono quindi sfruttati dagli imprenditori che possono godere di grandi profitti economici.