Significato della differenza tra i mezzi

Dopo aver letto questo articolo imparerai il significato della differenza tra i mezzi.

Supponiamo di voler verificare se i ragazzi di 12 anni e le ragazze di 12 anni delle scuole pubbliche differiscono nelle abilità meccaniche. Dato che le popolazioni di tali ragazzi e ragazze sono troppo grandi, prendiamo un campione casuale di tali ragazzi e ragazze, amministriamo un test e calcoliamo i mezzi di ragazzi e ragazze separatamente.

Supponiamo che il punteggio medio di questi ragazzi sia 50 e quello di queste ragazze sia 45. Notiamo una differenza di 5 punti tra i mezzi di ragazzi e ragazze. Può essere un fatto che una tale differenza potrebbe essere dovuta a fluttuazioni del campionamento.

Se disegniamo altri due campioni, uno della popolazione di ragazzi di 12 anni e altri della popolazione di ragazze di 12 anni, troveremo qualche differenza tra i mezzi se continueremo a ripeterlo per un grande numero di tempo nel disegnare campioni di Ragazzi di 12 anni e ragazze di 12 anni troveremo che la differenza tra due serie di mezzi varierà.

A volte questa differenza sarà positiva, a volte negativa ea volte zero. La distribuzione di queste differenze formerà una distribuzione normale attorno a una differenza di zero. La SD di questa distribuzione è chiamata errore standard della differenza tra medie.

Per questo vengono utilizzati i seguenti simboli:

SEM 1 - M 2 o SE D o σ DM

Due situazioni sorgono rispetto alle differenze tra media:

(a) Quelli in cui i mezzi non sono correlati / indipendenti, e

(b) Quelli in cui i mezzi sono correlati.

a) SE della differenza tra due mezzi indipendenti:

I mezzi sono non correlati o indipendenti se calcolati da campioni diversi o da test non correlati somministrati allo stesso campione.

In tal caso possono presentarsi due situazioni:

(i) Quando i mezzi non sono correlati o indipendenti e i campioni sono grandi, e

(ii) Quando i mezzi non sono correlati o indipendenti e i campioni sono piccoli.

(i) SE della differenza (SE D ) quando i mezzi non sono correlati o indipendenti e i campioni sono grandi:

In questa situazione la SE D può essere calcolata usando la formula:

in cui SE D = errore standard della differenza di mezzi

SEm 1 = errore standard della media del primo campione

SEm 2 = errore standard della media del secondo campione

Esempio 1:

Due gruppi, uno composto da 114 uomini e l'altro da 175 donne. I punteggi medi di uomini e donne in un test di costruzione di parole sono stati rispettivamente 19, 7 e 21, 0 e gli SD di questi due gruppi sono rispettivamente 6, 08 e 4, 89. Verificare se la differenza osservata di 1, 3 a favore delle donne è significativa a 0, 05 e a livello di 0, 01.

Soluzione:

È un test a due code → Siccome la direzione non è chiara.

Per testare il significato di una differenza ottenuta tra due campioni, possiamo procedere attraverso i seguenti passaggi:

Passo 1:

Nel primo passo dobbiamo essere chiari se dobbiamo effettuare test a due code o test a una coda. Qui vogliamo testare se la differenza è significativa. Quindi è un test a due code.

Passo 2:

Stabiliamo un'ipotesi nulla (H 0 ) che non ci sia differenza tra i mezzi di popolazione di uomini e donne nella costruzione di parole. Assumiamo che la differenza tra i mezzi di popolazione di due gruppi sia zero, ovvero H o : D = 0.

Passaggio 3:

Quindi dobbiamo decidere il livello di significatività del test. Nel nostro esempio dobbiamo testare la differenza al livello di significatività 0, 05 e 0, 01.

Passaggio 4:

In questo passaggio dobbiamo calcolare l'errore standard della differenza tra mezzi, ad es. SE D.

Dato che il nostro esempio è un mezzo non correlato e grandi campioni, dobbiamo applicare la seguente formula per calcolare SE D :

Passaggio 5:

Dopo aver calcolato il valore di SE D dobbiamo esprimere la differenza delle medie campionarie in termini di SE D. Dato che il nostro esempio è una facilità di grandi campioni, dovremo calcolare Z dove,

Passaggio 6:

Con riferimento alla natura del test nel nostro esempio, dobbiamo scoprire il valore critico per Z dalla Tabella A sia a .05 sia a .01 livello di significatività.

Dalla tabella A, Z.05 = 1, 96 e Z.01 = 2, 58. (Ciò significa che il valore di Z per essere significativo a livello .05 o inferiore deve essere 1, 96 o superiore).

Ora 1.91 <1.96, la differenza marcata non è significativa a livello .05 (cioè H 0 è accettato).

Interpretazione:

Poiché il campione è ampio, possiamo assumere una distribuzione normale di Z. La Z ottenuta non riesce a raggiungere il livello di significatività 0, 05, che per campioni di grandi dimensioni è 1, 96.

Di conseguenza non rifiuteremmo l'ipotesi nulla e diremmo che la differenza ottenuta non è significativa. Potrebbe esserci qualche differenza, ma non ne abbiamo sufficienti garanzie.

Una conclusione più pratica sarebbe che non abbiamo prove sufficienti di qualsiasi differenza sessuale nella capacità di costruire parole, almeno nel tipo di popolazione campionata.

Esempio 2:

I dati sulle prestazioni di ragazzi e ragazze sono dati come:

Verifica se i ragazzi o le ragazze hanno prestazioni migliori e se la differenza di 1, 0 a favore dei ragazzi è significativa a livello di 0, 05. Se accettiamo la differenza per essere significativi quale sarebbe l'errore di tipo 1.

Soluzione:

1, 85 <1, 96 (Z05 = 1, 96). Quindi H 0 è accettato e la differenza marcata di 1.0 a favore dei ragazzi non è significativa a livello .05.

Se accettiamo che la differenza sia significativa, commettiamo un errore di tipo 1. Leggendo la Tabella A troviamo che ± 1.85 Z include il 93.56% dei casi. Quindi accettando la marcata differenza di essere significativi siamo 6, 44% (100 - 93, 56) sbagliati, quindi l'errore di tipo 1 è 0644.

Esempio 3:

La classe A è stata insegnata in un corso di coaching intensivo mentre la Classe B in un normale insegnamento di classe. Alla fine di un anno scolastico, le classi A e B avevano una media di 48 e 43 con SD 6 e 7.40 rispettivamente.

Verificare se il coaching intensivo ha ottenuto un guadagno nel punteggio medio della classe A. La classe A costituisce 60 studenti di classe B 80.

. . . 4.42 è maggiore di Z.01 o 2.33. Quindi H o è respinto. La differenza marcata è significativa a livello 01.

Quindi concludiamo che il coaching intensivo ha ottenuto buoni punteggi medi di Classe A.

(ii) SE della differenza (SE D ) quando i mezzi non sono correlati o indipendenti e i campioni sono piccoli:

Quando le N di due campioni indipendenti sono piccole, la SE della differenza di due medie può essere calcolata utilizzando le seguenti due formule:

Quando vengono dati i punteggi:

in cui x 1 = X 1 - M 1 (ovvero deviazione dei punteggi del primo campione dalla media del primo campione).

X 2 = X 2 - M 2 (ovvero deviazione dei punteggi del secondo campione dalla loro media)

Quando vengono forniti i mezzi e le SD di entrambi i campioni:

Esempio 4:

Un test di interesse viene somministrato a 6 ragazzi in una classe di formazione professionale ea 10 ragazzi in una classe latina. La differenza media tra i due gruppi è significativa a livello di 0, 05?


Entrare in tavola:

D troviamo che con df = 14 il valore critico di t a .05 livello è 2.14 e a .01 livello è 2.98. Il valore calcolato di 1, 78 è inferiore a 2, 14 con un livello di significatività di 0, 05.

Quindi H 0 è accettato. Concludiamo che non vi è alcuna differenza significativa tra i punteggi medi di Interest Test di due gruppi di ragazzi.

Esempio 5:

Un inventario della personalità è amministrato in una scuola privata a 8 ragazzi i cui registri di condotta sono esemplari, e a 5 ragazzi i cui registri sono molto poveri.

I dati sono dati di seguito:

La differenza tra gruppo significa significativo al livello .05? al livello 01?

Entrando nella Tabella D troviamo che con df 11 il valore critico di t a .05 livello è 2.20 e a .01 livello è 3.11. Il valore calcolato di 2, 28 è appena superiore a 2, 20 ma inferiore a 3, 11.

Concludiamo che la differenza tra i mezzi di gruppo è significativa a livello di 0, 05 ma non significativa a livello di 0, 01.

Esempio 6:

Su un test di ragionamento aritmetico 11 ragazzi di 10 anni e 6 ragazze di 10 anni hanno ottenuto i seguenti punteggi:

La differenza media di 2, 50 è significativa al livello di 0, 05?

Soluzione:

Applicando la formula (43 b).

Entrando nella Tabella D troviamo che con df 15 il valore critico di t a 0, 05 è 2.13. Il valore ottenuto di 1.01 è inferiore a 2.13. Quindi la differenza marcata di 2, 50 non è significativa a livello .05.

(b) SE della differenza tra due mezzi correlati:

(i) Il metodo a gruppo singolo:

Abbiamo già affrontato il problema di determinare se la differenza tra due mezzi indipendenti è significativa.

Ora ci interessa il significato della differenza tra i mezzi correlati. Mezzi correlati sono ottenuti dallo stesso test somministrato allo stesso gruppo in due occasioni.

Supponiamo di aver somministrato un test a un gruppo di bambini e dopo due settimane dobbiamo ripetere il test. Desideriamo misurare l'effetto della pratica o di un allenamento speciale sulla seconda serie di punteggi. Al fine di determinare il significato della differenza tra i mezzi ottenuti nel test iniziale e finale.

Dobbiamo usare la formula:

in cui σ M1 e σ M2 = SE del mezzo test iniziale e finale

r 12 = Coefficiente di correlazione tra i punteggi fatti nei test iniziali e finali.

Esempio 7:

All'inizio dell'anno accademico, il punteggio medio di 81 studenti per un test di rendimento scolastico in lettura era 35 con un SD di 5.

Alla fine della sessione, il punteggio medio su una forma equivalente dello stesso test era 38 con un SD di 4. La correlazione tra i punteggi fatti sul test iniziale e finale era .53. La classe ha compiuto progressi significativi nella lettura durante l'anno?

Possiamo tabulare i nostri dati come segue:

(Test al livello di significato 01)

Soluzione:

Poiché siamo interessati solo al progresso o al guadagno, questo è un test a una coda.

Applicando la formula:

Poiché ci sono 81 studenti, ci sono 81 coppie di punteggi e 81 differenze, in modo che il df diventi 81 - 1 o 80. Dalla tabella D, la t per 80 df è 2.38 al livello di 0, 02. (La tabella dà 2, 38 per il test a due code che è 0, 01 per il test a una coda).

La t ottenuta di 6.12 è di gran lunga superiore a 2, 38. Quindi la differenza è significativa. Sembra certo che la classe abbia compiuto progressi sostanziali nella lettura durante l'anno scolastico.

(ii) Metodo di differenza:

Quando i gruppi sono piccoli, usiamo il "metodo delle differenze" per motivi di calcoli facili e veloci.

Esempio 8:

Dieci soggetti ricevono 5 prove successive su un test con simboli numerici di cui vengono mostrati solo i punteggi per le prove 1 e 5. Il guadagno medio dalla fase iniziale a quella finale è significativo?

La colonna della differenza si trova dalla differenza tra coppie di punteggi. La differenza media è risultata essere 4 e la SD attorno a questo valore (SD D )

Calcolo SE della differenza media:

In quale SE MD = errore standard della differenza media

SD = Deviazione standard attorno alla differenza media.

La t ottenuta di 5, 26> 2, 82. La nostra t di 5.26 è molto più grande, rispetto al livello .01 di 2.82 e non c'è dubbio che il guadagno dalla prova 1 alla prova 5 sia significativo.

(iii) Il metodo dei gruppi equivalenti:

Corrispondenza per coppie:

A volte ci può essere richiesto di confrontare la performance media di due gruppi equivalenti che sono abbinati a coppie.

Nel metodo dei gruppi equivalenti, la corrispondenza viene eseguita inizialmente da coppie in modo che ogni persona del primo gruppo abbia una corrispondenza nel secondo gruppo.

In questi casi il numero di persone in entrambi i gruppi è lo stesso vale a dire n 1 = n 2 .

Qui possiamo calcolare SE D usando la formula:

in cui SE M1 eSE M2 = errori standard dei punteggi finali di Group-I e Group-II rispettivamente.

r 12 = Coefficiente di correlazione tra i punteggi finali del gruppo I e del gruppo II.

Esempio 9:

Due gruppi sono stati formati sulla base dei punteggi ottenuti dagli studenti in un test di intelligenza. Uno dei gruppi (gruppo sperimentale) ha ricevuto alcune istruzioni aggiuntive per un mese e l'altro gruppo (gruppo controllato) non ha ricevuto tali istruzioni.

Dopo un mese entrambi i gruppi hanno ricevuto lo stesso test e i dati relativi ai punteggi finali sono riportati di seguito:

Interpretazione:

Immettendo la tabella di t (Tabella D) con df 71 il valore critico di t a 0, 05 di livello nel caso di un test a una coda è 1, 67. La t ottenuta di 2, 34> 1, 67. Quindi la differenza è significativa a livello .05.

. . . La media è aumentata a causa di ulteriori istruzioni.

Con df di 71 il valore critico di t a .01 livello in caso di test a una coda è 2.38. Così ottenuto t di 2, 34 <2, 38. Quindi la differenza non è significativa a livello .01.

Errore standard della differenza tra le altre statistiche:

(i) SE della differenza tra le mediane non corrette:

Il significato della differenza tra due mediane ottenute da campioni indipendenti può essere trovato dalla formula:

(ii) SE della differenza tra le deviazioni standard: