Costole ad arco: forze e momenti, spinta e taglio

Dopo aver letto questo articolo imparerai a conoscere: - 1. Forze e momenti sulle costole dell'arco 2. Spinta normale su qualsiasi sezione della nervatura dell'arco 3. Taglio radiale 4. Linee di influenza.

Forze e momenti sulle costole ad arco:

io. Effetto della temperatura:

Un arco a due cerniere e un arco legato sono mostrati in Fig. 13.8 che rappresentano l'effetto dell'aumento di temperatura sulle costole dell'arco. A causa dell'innalzamento della temperatura, la nervatura dell'arco ACB avrà una lunghezza maggiore rispetto a AC'B per l'arco a due incernieramenti e AC'B 'per l'arco legato.

L'effetto della temperatura in caso di arco a due cardini sarà diverso da quello per gli archi legati. Nel caso del primo, poiché non vi è spostamento dei supporti, l'aumento della lunghezza della nervatura dell'arco offrirà spinta, H _t, sui supporti e la corona dell'arco andrà verticalmente su da C a C '.

Nel caso di quest'ultimo, comunque, il rullo cercherà di permettere che l'estremità libera B si sposti su B 'e come tale proverà a rilasciare la spinta ma la cravatta, d'altra parte, proverà a tenere la fine B in posizione fino a quando non è teso a tal punto che la forza di trazione nella cravatta è uguale alla spinta dell'arco.

Questa forza per gli archi legati sarà inferiore a quella per gli archi incernierati, (span, rise ecc. Di entrambi gli archi rimanendo lo stesso). Tuttavia, la tensione della cravatta essendo piccola, la riduzione di H, non sarà molto significativa e come tale per tutti gli scopi pratici, sia la cravatta che la nervatura dell'arco possono essere progettate per H _t anche per archi legati.

Se, t, è l'aumento della temperatura e α, il coefficiente di espansione allora la costola dell'arco ACB aumenterà di lunghezza in AC'B tale che AC'B = ACB (1 + αt). Se L è l'arco dell'arco allora si può dimostrare che il supporto B, se libero di muoversi a causa dell'effetto della temperatura, andrà a B 'orizzontalmente in modo tale che BB' = Lαt.

Cioè, impedendo il movimento di B, l'espansione orizzontale dell'arco impedito è Lαt.

Se H _t è la spinta orizzontale dovuta alla prevenzione dell'espansione dell'arco, il momento flettente su un elemento dell'arco ad un'altezza y dal molleggio è dato da:

M = H ty (13, 35)

È noto che l'aumento orizzontale dello span δL di un arco dovuto al momento flettente è dato da:

La sezione trasversale e come tale i momenti di inerzia di una sezione di arco varia da massimo a abutment a minimo a corona. Ai fini del progetto, il momento di inerzia di qualsiasi sezione x può essere preso come I = I _C sec θ dove I _C è il momento di inerzia della sezione della corona e θ è la pendenza dell'arco.

Sostituendo ds = dx sec θ e I = I _c Sec θ, l'equazione 13.37 diventa:

Il restringimento e il flusso di plastica del calcestruzzo accorciano la nervatura dell'arco e come tale H diventa una trazione sugli abutment. Anche la caduta di temperatura causerà una trazione e pertanto, anche l'effetto della caduta di temperatura sarà debitamente considerato insieme al ritiro e al flusso di plastica del calcestruzzo per soddisfare le peggiori condizioni.

ii. Accorciamento dell'arco:

A causa dell'arco accorciato, parte della forza orizzontale causata dal carico esterno viene ridotta.

La forza orizzontale dovuta al carico esterno è data da:

Il valore ridotto di H dovuto al carico esterno incluso l'effetto dell'accorciamento dell'arco può essere dato dalla seguente espressione:

Dove M ₁ = B che termina il momento in qualsiasi sezione a causa di carichi esterni, l'arco viene considerato come un raggio semplicemente supportato.

A = Area della sezione trasversale della nervatura dell'arco in qualsiasi punto.

E = Modulo di Young di calcestruzzo ad arco.

Quando E è costante per lo stesso arco e ds = dx sec θ A = Ac Sec θ (approssimativamente) e I = I _C sec θ, l'equazione 13.41 diventa:

Se H _a è noto, momento M _a, in qualsiasi sezione dell'arco dovuta a carico esterno compreso l'effetto di accorciamento dell'arcata può essere valutato dall'espressione riportata di seguito:

M _a = (M ₁ - H _a y) (13.43)

iii. Restringimento e flusso di calcestruzzo in plastica:

L'effetto del restringimento della nervatura dell'arco è simile a quello dovuto alla caduta di temperatura. La deformazione da ritiro, Cs, può, quindi, sostituire la deformazione di temperatura, in equazione 13.39 per ottenere la trazione H _s dovuta al restringimento.

Per quanto riguarda l'effetto del flusso plastico del calcestruzzo, il valore di E può essere modificato a metà del valore istantaneo durante la determinazione delle forze e dei momenti.

All'esame delle espressioni 13.39, 13.40, 13.42 e 13.44 per la valutazione delle forze orizzontali si può notare che solo la temperatura e il restringimento sono influenzati dal flusso plastico del calcestruzzo poiché le espressioni riguardanti questi effetti contengono solo il termine E.

Esempio illustrativo 1:

Un arco parabolico a due cardini con una luce di 40 m viene caricato con un carico di 120 KN per ogni quarto punto (Fig. 13.9). L'ascesa dell'arco è di 5m. Il momento di inerzia della nervatura dell'arco varia come la secante della pendenza dell'arco. Trova le forze e i momenti considerando l'effetto della variazione di temperatura, l'accorciamento dell'arco, il restringimento e il flusso di plastica del calcestruzzo.

Dato:

a = 11, 7 x 10 ^{- 6} per grado centigrado, C _s = 4 x 10 ^{- 4}, E = 31, 2 x 10 ⁴ Kg / cm ², t = 18 ° C, A _c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm ², I _C = 8, 5 x 10 ⁶ cm ⁴ .

Soluzione:

Dall'equazione 13.10, l'equazione di una nervatura dell'arco parabolico è:

Integrazione del numeratore:

Integrazione del denominatore:

Momenti flettenti per carichi esterni e spinte orizzontali:

y a C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3, 75 m; a D = 5, 0 m

. ^. . Momento a A = Momento a B = 0 (poiché l'arco è incernierato in A e B)

Momento a C = Momento a E = (M - Hy) = (V _A x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Momento a D = V _A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20-10) - 455 x 5 = 125 KNm

Effetto della temperatura:

La variazione della temperatura dell'effetto viene presa come 2/3 della variazione di temperatura effettiva,

Accorciamento dell'arco:

Dall'equazione 13.42, il valore di H compreso l'effetto dell'accorciamento dell'arco è dato da:

Effetto del restringimento:

Coefficiente di restringimento, C _s = 4 x 10 ^{- 4}

Se la costola dell'arcata viene cementata in sezioni per ridurre il restringimento, questo valore può essere preso come 50 percento di C _s cioè 2 x 10 ^{- 4} .

Effetto del flusso di plastica:

Il valore di E può essere preso a metà mentre si stimano la temperatura e l'effetto di restringimento. Pertanto, i valori di H _t e H _s possono essere ridotti del 50% in considerazione del flusso plastico del calcestruzzo della nervatura dell'arco.

Riepilogo dei risultati:

(a) H a causa di carichi esterni = 455 KN (spinta)

(b) H _un accorciamento dell'arco considerato = 448, 6 KN (Spinta)

(c) H _{t a} causa della temperatura compreso il flusso di plastica = 50% di 27.4 = ± 13.7 KN (spinta o trazione)

(d) H _{s a} causa di restringimento compreso il flusso di plastica = 50% di 39.0 = (-) 19.5 KN (pull)

. ^. . Massimo H = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (spinta)

Minima H = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (spinta)

Design Moment sulla costola dell'arco in varie sezioni:

I momenti flettenti in varie sezioni dell'arco sono mostrati in Fig. 13.10. Si può notare che la spinta orizzontale indotta nella costola dell'arcata ha ridotto i momenti flettenti liberi di quasi l'87 percento.

Spinta normale su qualsiasi sezione della costola dell'arco:

Per la progettazione di qualsiasi sezione della nervatura dell'arco, è necessario conoscere la grandezza del momento flettente e la spinta normale. I momenti flettenti per carichi morti e altri effetti come la temperatura, l'accorciamento dell'arco, il restringimento, il flusso di plastica ecc. Possono essere ottenuti come descritto in precedenza.

I momenti flettenti per carichi vivi possono essere ottenuti mediante l'uso di linee di influenza. Pertanto, al fine di ottenere tutte le forze e i momenti di progettazione per ciascuna sezione critica dell'arco, non devono essere noti solo i momenti flettenti ma anche le spinte e le cesoie.

La procedura è ora spiegata. La spinta normale per qualsiasi sezione X della nervatura dell'arco a una distanza x da A e soggetta a spinta orizzontale, H e spinta verticale, V è data da P _x = H cos θ + V sin θ.

Se c'è un carico mobile che agisce sull'arco, allora la spinta normale in una sezione X (a una distanza x da A) è data da:

(a) Quando il carico W è compreso tra A e X:

P _X = H _A cosθ + V _A sinθ - W sinθ

= H _A cosθ - (W - V _A ) sin θ = H _A cos θ - V _B sin θ (13.47)

(b) Quando il carico è compreso tra X e B:

P _X = H _A cosθ + V _A sinθ (13.48)

Cesoia radiale nella costola dell'arco:

Per la progettazione di qualsiasi sezione devono essere noti i valori del momento flettente, del taglio e della spinta normale. Il metodo di determinazione del momento flettente e della spinta normale. In questo articolo, viene spiegata la valutazione del taglio radiale.

Come nella normale spinta, se il carico mobile W è compreso tra A e X, il taglio radiale S _X in una sezione è dato da:

Linee di influenza per la costola ad arco:

Negli articoli precedenti, è stata discussa la procedura per la determinazione di momenti, spinta e taglio per qualsiasi sezione per carichi statici. In caso di ponti, i veicoli che il ponte deve trasportare, non sono statici ma mobili e quindi la valutazione di momento, spinta e taglio deve essere effettuata con l'assistenza di linee di influenza. Metodo di disegno delle linee di influenza per due archi parabolici a cerniera.

Linee di influenza per archi parabolici a due cardini:

Linee di influenza per la spinta orizzontale sugli abutment:

La spinta orizzontale in un arco a due cardini che trasporta un carico concentrato unitario a P ad una distanza di "a" dall'origine è data da,

Lo schema completo della linea d'influenza per la spinta, H è mostrato in Fig. 13.12b. Il coefficiente per le ordinate del diagramma di linee d'influenza per i vari valori di 'a' è riportato nella Tabella 13.1.

Nota:

(a) Le ordinate per lo schema IL = coefficiente x L / r.

(b) La spinta dovuta a un carico concentrato W = ordinata x W.

(c) La spinta dovuta a carichi distribuiti, ω / m = Area di inf. linea diag x ω.

Influenza il diagramma di linee per Bending Moment in una sezione X:

Il diagramma della linea d'influenza per il momento in X (diagramma generalizzato) è mostrato è la Fig. 13.13a e lo stesso in x = 0.25L e x = 0.5L (cioè nella corona) sono mostrati in Fig. 13.13b, i coefficienti per le ordinate per i momenti in varie sezioni (es. x = 0, 0.1L, 0.2L ecc.) per varie posizioni di carico (es. a = 0, 0.1L, 0.2L ecc.) sono mostrati nella Tabella 13.2.

Le ordinate per il diagramma di linee d'influenza si ottengono moltiplicando i coefficienti con L. Il momento M _X per un carico concentrato W = coefficiente x WL.

Diagramma della linea di influenza per spinta normale nella sezione X:

La normale spinta in qualsiasi sezione X si ottiene usando l'equazione 13.47 o 13.48 cioè P _X = H _A cos θ - V _B sin θ o H _A cos θ + V _A sinθ a seconda che il carico si trovi a sinistra oa destra della sezione X rispettivamente.

Le linee di influenza per V _A sin θ e V _B sin θ sono due linee parallele aventi ordinate di estremità uguali a sin θ poiché V _A o V _B per il carico in movimento alle estremità diventa unità. La linea di influenza per H cos θ è cos θ volte la linea di influenza per H ottenuta in precedenza. Il diagramma della linea di influenza per P _X è mostrato in Fig. 13.14a.

Diagramma di linea di influenza per taglio radiale in X:

Il taglio radiale a X è dato dall'equazione S _X = H _A sinθ + V _B cosθ o H _A sinθ - V _A cosθ a seconda che il carico unitario si trovi a sinistra oa destra della sezione X.

Le linee di influenza per V _A cosθ e V _B cosθ sono due linee parallele aventi ordinate finali uguali a cosθ con carico in movimento unitario. La linea di influenza per H sinθ è sinθ volte la linea di influenza per H ottenuta in precedenza. Il diagramma della linea d'influenza finale per il taglio radiale in X è mostrato in Fig. 13.14b.

Diagramma della linea di influenza per archi a tre cardini e archi fissi:

I diagrammi delle linee d'influenza per spinte su abutment, momenti, spinte normali e shear radiali in una sezione X per tre archi a cerniera e archi fissi possono essere inseriti nello stesso modo descritto nel caso di archi a due cerniere.

Tuttavia, per riferimento pronto, i diagrammi delle linee di influenza per la spinta orizzontale, H e per il momento nella sezione X per un arco parabolico a tre cardini sono mostrati in Fig. 13.15 e quelli per un arco parabolico fisso sono mostrati in Fig. 13.16.

I diagrammi delle linee di influenza per i momenti alle sezioni x = 0, 2 L e x = 0, 4 L per l'arco a tre cardini e alle sezioni x = 0, 2 L e x = 0, 5 L per gli archi parabolici fissi sono mostrati in Fig. 13.17a e 13.17b rispettivamente. I coefficienti per le ordinate di spinta, H e i momenti in varie sezioni sia per le arcate paraboliche a tre cardini che fissi sono riportati nella Tabella 13.3, 13.4, 13.5 e 13.6.

Nota:

(a) L'ordinata per il diagramma della linea di influenza = coefficiente x L / r.

(b) La spinta dovuta a un carico concentrato, W = ordinata x W.

(c) La spinta dovuta a un carico distribuito, ω / m = Area di Inf. L. diag. x ω.

Nota:

(a) L'ordinata del diagramma IL = coefficiente x L / r.

(b) La spinta, H per un punto di carico, W = coeff. x WL / r = ordinata x W.

(c) La spinta, H per un carico distribuito, ω / m = Area della linea d'influenza diag. x ω.

L'uso dei coefficienti della linea di influenza nella valutazione di spinta e momenti con carichi statici:

I diagrammi delle linee d'influenza sono usati per la valutazione della massima spinta orizzontale, momento ecc. Per spostare i carichi. Questi diagrammi e tabelle di influenza possono anche essere utilizzati per la determinazione della spinta, del momento ecc. Per qualsiasi carico statico.

Esempio illustrativo 2:

Valutare la spinta e i momenti per l'arco parabolico come indicato nell'esempio illustrativo 13.2 e nella figura 13.9, mediante l'uso di diagrammi e coefficienti delle linee di influenza.

Soluzione:

Dalla Tabella 13.1, i coefficienti di spinta per carico unitario a 0, 25 L, 0, 5 L e 0, 75 L sono rispettivamente 0, 1392, 0, 1953 e 0, 1392.

Spinta determinata in precedenza = 455 KN. Quindi il valore ottenuto dall'uso dei coefficienti della linea di influenza è in accordo con il valore precedente calcolato mediante l'uso di formule.

I coefficienti per i momenti in C (x = 0, 25 L), D (x = 0, 5 L) ed E (x = 0, 75 L) per i carichi in C (a = 0, 25 L), D (a = 0, 5 L) ed E (a = 0, 75 L) sono i seguenti:

Coefficienti a C o E (cioè a 0, 25L o 0, 75L):

Coefficienti a D (ieat 0.5L):

Pertanto, i valori ottenuti dall'uso del coefficiente della linea di influenza concordano con quelli utilizzando la formula. La piccola variazione è dovuta ai coefficienti approssimativi (fino a tre punti decimali) usati nella tabella. Anche se approssimativo, il metodo con l'uso dei coefficienti della linea di influenza è molto veloce e in quanto tale ha qualche vantaggio rispetto al metodo utilizzato in precedenza.